Перейти до змісту
КурсиУвійти
← Глосарій статистики

ступені свободи

Кількість значень, що можуть вільно змінюватися за фіксованих оцінених величин, наприклад n - 1 для однієї вибірки, n1 + n2 - 2 для двовибіркового t-критерію.

Ступені свободи показують, скільки значень у розрахунку справді можуть змінюватися вільно, коли щось уже зафіксовано даними. Класична ілюстрація: якщо відомо, що середнє п'яти чисел дорівнює 40, будь-які чотири з них можна обрати довільно, але п'яте вже визначене, бо сума мусить бути 200. П'ять значень, одне обмеження — чотири ступені свободи.

Саме тому вибіркову дисперсію ділять на n−1n - 1, а не на nn:

s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}

Відхилення відраховують від вибіркового середнього xˉ\bar{x}, яке обчислене з тих самих даних, тож у сумі вони завжди дають нуль, і незалежну інформацію несуть лише n−1n - 1 з них. Ділення на nn систематично занижувало б розкид, і на малих вибірках — відчутно.

Кожен критерій, що оцінює щось за даними, «витрачає» ступені свободи, і формула залежить від критерію:

Критерій
Ступені свободи
t-критерій для однієї вибірки або для залежних вибірок
n−1n - 1
t-критерій Стьюдента для незалежних вибірок
n1+n2−2n_1 + n_2 - 2
критерій хі-квадрат Пірсона для таблиці r×cr \times c
(r−1)(c−1)(r - 1)(c - 1)
однофакторний дисперсійний аналіз
k−1k - 1 міжгрупові, N−kN - k внутрішньогрупові

Чому це важливо на практиці: ступені свободи визначають, з якою кривою порівнюють статистику критерію. За малої кількості ступенів свободи t-розподіл має товстіші хвости, ніж нормальний, тож критичне значення більше, і для відхилення H0 потрібен сильніший сигнал. Зі зростанням ступенів свободи t-розподіл наближається до нормального, а його двобічне критичне значення для 5% — до 1,96. Програма порахує ступені свободи сама; вам варто пам'ятати, що мало ступенів свободи — вища планка.

Приклад

Звідки береться «мінус один». Новий пункт видачі Котокорму за 5 днів отримував у середньому 40 замовлень на день, тож разом 200. Оберімо будь-які чотири дні: 38, 45, 36 і 42, у сумі 161. П'ятий день уже не вільний: 200−161=39200 - 161 = 39. П'ять значень — чотири ступені свободи.

Тепер дисперсія цих п'яти днів. Відхилення від середнього 40: −2,5,−4,2,−1-2, 5, -4, 2, -1 (у сумі 0, як і має бути завжди). Квадрати: 4+25+16+4+1=504 + 25 + 16 + 4 + 1 = 50.

  • Ділимо на n−1=4n - 1 = 4: s2=12,5s^2 = 12{,}5, тож s≈3,54s \approx 3{,}54 замовлення.
  • Ділення на n=5n = 5 дало б 10, тобто заниження справжнього розкиду між днями.

У t-критерії. Тест віджета допродажу порівнював 10 замовлень контрольної групи з 10 замовленнями експериментальної, тож df=10+10−2=18df = 10 + 10 - 2 = 18. Двобічне критичне значення за α=0,05\alpha = 0{,}05 — 2,101. Якби в кожній групі було лише 5 замовлень, df=8df = 8, і планка піднялася б до 2,306; на величезних вибірках вона опускається до 1,96.

У критерії хі-квадрат. Маркетинг порівнює конверсію в 3 рекламних каналах, у кожному 2 результати (конверсія є чи немає). Таблиця спряженості має розмір 3×23 \times 2, тож df=(3−1)(2−1)=2df = (3 - 1)(2 - 1) = 2, а 5% критичне значення хі-квадрат — 5,99.

Типові помилки

  • Брати за ступені свободи весь обсяг вибірки. У t-критерії для двох груп по 10 користувачів 18 ступенів свободи, а не 20; у критерії хі-квадрат вони залежать від кількості рядків і стовпців таблиці, а не від кількості користувачів.
  • Брати нормальне 1,96 для t-критерію на малій вибірці. За 8 ступенів свободи правильна планка — 2,306; з 1,96 хибнопозитивні результати стають імовірнішими.
  • Ділити на n, рахуючи вибіркове стандартне відхилення вручну. Функції в таблицях різні (STDEV.S ділить на n−1n - 1, STDEV.P — на nn); для вибірки беріть варіант з n−1n - 1.
  • Дивуватися дробовим ступеням свободи. t-критерій Велча коригує їх для нерівних дисперсій і часто показує щось на кшталт 14,7; це нормально.
  • Думати, що більше ступенів свободи означає більший ефект. Ступені свободи відображають лише те, скільки інформації пішло в оцінку, а не те, наскільки велика чи важлива різниця.

Вивчити в курсі