міжквартильний розмах

Різниця Q3 і Q1: розкид центральних 50% даних; стійкий до викидів.

Міжквартильний розмах (IQR) — це ширина центральної половини даних: третій квартиль мінус перший.

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$

$Q_1$ — значення, нижче якого лежить чверть даних (25-й процентиль), а $Q_3$ — значення, нижче якого лежать три чверті (75-й). Уручну їх найпростіше знайти так: відсортуйте дані й поділіть їх медіаною навпіл; тоді $Q_1$ — медіана нижньої половини, а $Q_3$ — верхньої. Функції електронних таблиць, як-от QUARTILE.INC, натомість інтерполюють між сусідніми значеннями, тож на малих наборах даних результати можуть трохи відрізнятися. Годиться будь-який спосіб, аби ви застосовували той самий щоразу, коли порівнюєте групи.

Оскільки верхня й нижня чверті даних його взагалі не цікавлять, міжквартильний розмах стійкий: одна загублена посилка чи одне оптове замовлення його не змінять. Тому він — природний партнер медіани для скошених продуктових даних, так само як стандартне відхилення — партнер середнього. Фраза «медіана 7,5 хвилини, центральна половина — від 5,5 до 11» скаже стейкхолдеру більше, ніж середнє й стандартне відхилення, роздуті одним крайнім значенням.

Міжквартильний розмах лежить і в основі діаграми розмаху («ящика з вусами»). «Ящик» тягнеться від $Q_1$ до $Q_3$ , лінія всередині позначає медіану, а «вуса» сягають найдальших значень, що ще лежать у межах $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ від ящика. Усе, що за цими межами, малюють окремими точками як потенційні викиди:

$Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} \quad\text{і}\quad Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$

Це правило запропонував статистик Джон Тьюкі, і сьогодні це найпоширеніший повсякденний спосіб позначати незвичні значення.

Приклад

Час першої відповіді в чаті підтримки Котокорму для 12 звернень, у хвилинах, після сортування: 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 42.

Медіана: $n = 12$ парне, тож вона дорівнює $(7 + 8) / 2 = 7{,}5$ хвилини.
Нижня половина: 3, 4, 5, 6, 6, 7, отже, $Q_1 = (5 + 6) / 2 = 5{,}5$ .
Верхня половина: 8, 9, 10, 12, 15, 42, отже, $Q_3 = (10 + 12) / 2 = 11$ .
$\text{IQR} = 11 - 5{,}5 = 5{,}5$ хвилини: центральна половина покупців чекала від 5,5 до 11 хвилин.

Межі: $5{,}5 - 1{,}5 \times 5{,}5 = -2{,}75$ (нижче не буває) і $11 + 1{,}5 \times 5{,}5 = 19{,}25$ . Звернення на 42 хвилини виходить за межу, тож на діаграмі розмаху воно буде окремою точкою, і його варто відкрити: може, повідомлення надійшло вночі або загубилося сповіщення?

Для порівняння: середнє становить $127 / 12 \approx 10{,}58$ хвилини, а стандартне відхилення — близько 10,47, і обидва підтягнуті вгору одним зверненням. Медіана й міжквартильний розмах описують типовий досвід, а 42 хвилини заслуговують на окремий розгляд. Функція QUARTILE.INC у таблицях дає $Q_1 = 5{,}75$ і $Q_3 = 10{,}5$ , тобто IQR 4,75 і верхню межу 17,625: числа трохи інші, висновок той самий.

Типові помилки

Читати міжквартильний розмах як «де лежить більшість значень». Він охоплює рівно центральну половину; чверть даних лежить вище $Q_3$ і чверть — нижче $Q_1$ .
Змішувати способи обчислення квартилів. Якщо порівнювати IQR з одного інструмента з IQR з іншого, можна побачити «різницю», яка насправді є лише різницею формул. В одному порівнянні — один спосіб.
Вважати помилкою кожну точку за межею $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ . На даних із правим хвостом, як-от витрати на клієнта, ця межа регулярно відсікає справжніх і цінних покупців. Вона позначає значення для перевірки, а не для видалення.
Обмежуватися міжквартильним розмахом, коли проблема саме в хвості. Для SLA доставки чи швидкості сторінок покупці скаржаться якраз на повільний хвіст; додайте p90 чи p95.
Сприймати «вуса» діаграми розмаху як мінімум і максимум. Коли є викиди, «вуса» закінчуються на останньому значенні в межах, а крайні значення — це окремі точки.

Вивчити в курсі

Розкид: розмах, SD і квартилі · Дві кур'єрські служби з однаковим середнім часом доставки, і чому обіцянку виконує лише одна: розмах, дисперсія, стандартне відхилення, квартилі, IQR і коефіцієнт варіації.