відношення шансів

У скільки разів змінюються шанси на одиницю предиктора; експонента коефіцієнта логістичної регресії.

Шанси показують, у скільки разів подія ймовірніша за її відсутність: $\text{шанси} = \frac{p}{1-p}$ . Імовірність відтоку 20% означає шанси $0{,}2 / 0{,}8 = 0{,}25$ , тобто «1 до 4». Відношення шансів порівнює шанси у двох групах:

$OR = \frac{p_1 / (1 - p_1)}{p_0 / (1 - p_0)} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Друга форма — для таблиці 2×2, де $a, b$ — кількість випадків «подія / без події» у групі 1, а $c, d$ — те саме для групи 0. OR = 1 означає відсутність зв'язку, OR > 1 — вищі шанси в групі 1, OR < 1 — нижчі.

Зв'язок із логістичною регресією. Логістична регресія моделює логарифм шансів як лінійну функцію предикторів. Коефіцієнт $b$ — це зміна логарифма шансів, коли предиктор зростає на одиницю, тож $e^{b}$ — відношення шансів на цю одиницю за незмінних інших предикторів. Саме тому результати логістичних моделей зазвичай подають як відношення шансів.

Відношення шансів і відносний ризик. Відносний ризик порівнює саме ймовірності: $RR = p_1 / p_0$ . Коли подія рідкісна (приблизно до 10%), OR і RR близькі. Коли ж подія часта, а відтік чи конверсія в окремому сегменті часто такими і є, OR відходить від 1 значно далі, ніж RR. Тож фраза «OR = 3,5, отже клієнти в 3,5 раза частіше йдуть» перебільшує ефект. До того ж шанси й імовірність не пов'язані прямою лінією, тому те саме OR змінює ймовірність дуже по-різному залежно від вихідного рівня.

Приклад

З таблиці 2×2. Котокорм порівнює 100 клієнтів, які не замовляли 3+ місяці, зі 100 нещодавно активними:

	Пішли	Лишилися	Частка відтоку
Мовчать 3+ місяці	60	40	60%
Нещодавно активні	30	70	30%

Відносний ризик: $RR = 0{,}60 / 0{,}30 = 2{,}0$ . Клієнти, що мовчать, ідуть удвічі частіше.
Шанси: $60/40 = 1{,}5$ проти $30/70 \approx 0{,}429$ .
Відношення шансів: $OR = \frac{60 \times 70}{40 \times 30} = \frac{4200}{1200} = 3{,}5$ .

Обидва числа правильні, просто відповідають на різні питання. Написати «у 3,5 раза ймовірніше» означало б перебільшити ефект на 75%.

З логістичної регресії. Модель відтоку Котокорму: $\ln(\text{шанси}) = -2 + 0{,}8 \times \text{місяців від останньої покупки}$ . Відношення шансів на один місяць — $e^{0{,}8} \approx 2{,}23$ .

3 місяці: логарифм шансів $= -2 + 2{,}4 = 0{,}4$ , шанси $= e^{0{,}4} \approx 1{,}49$ , $p = 1{,}49 / 2{,}49 \approx 0{,}60$ .
4 місяці: логарифм шансів $= 1{,}2$ , шанси $= e^{1{,}2} \approx 3{,}32$ (це $1{,}49 \times 2{,}23$ ), $p = 3{,}32 / 4{,}32 \approx 0{,}77$ .

Шанси зросли в 2,23 раза, а ймовірність — лише з 60% до 77%, тобто в 1,28 раза.

Типові помилки

Казати «у стільки-то разів імовірніше» про відношення шансів. Так описують відносний ризик. Для частих подій, як-от відтік чи конверсія в сегменті, ці два показники дуже різняться.
Забувати про одиницю виміру. OR із логістичної регресії розраховано на одну одиницю предиктора. 2,23 на місяць у моделі відтоку — це приблизно $e^{0{,}8/30} \approx 1{,}027$ на день, тож та сама модель може здаватися слабкою чи сильною залежно від масштабу.
Тлумачити його як причинність. «Кожен місяць мовчання множить шанси відтоку на 2,23» описує зв'язок у даних з урахуванням лише тих предикторів, що є в моделі, а не те, що станеться після втручання.
Порівнювати OR менші й більші за 1 на лінійній шкалі. OR = 0,5 і OR = 2 однаково сильні, лише в протилежних напрямках (0,5 = 1/2).
Наводити OR без довірчого інтервалу. Інтервал, що містить 1, означає, що дані не суперечать відсутності зв'язку.

Вивчити в курсі

Логістична регресія та класифікація · Передбачення результатів «так/ні», як-от відтік чи конверсія, та оцінка якості прогнозів.